《线性代数》课中的向量空间的起源

“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段,最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿。向量又称矢量,最初应用于物理学,很多物理量如力、速度、位移,以及电场强度、磁感应强度等,都是向量。大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则得到。

从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家认识,直到19 世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算,把坐标平面上的点用向量表示出来,且把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。之后,人们逐渐地接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样在数学中得以运用。

向量是一种带有几何性质的量。在三维向量空间中,除零向量外,总可以画出箭头表示方向。但在线性代数中研究的是更广泛的向量,如n维向量。在这种情况下,要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的,这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,向量空间的概念已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,它的理论和方法在自然科学的各领域得到了广泛的应用,向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供了一个具体的模型。

在物理中,力、速度、加速度等,由于它们既有大小又有方向,用一个不能刻画它们,因此在取定坐标系之后,它们可以用三个数来刻画,几何中量的概念正是它们的抽象,又如,确定一个刚体的位置需要六个数。事实上如果在刚体中取定一个点及过这一点的一根轴,那么刚体的位置就决定于这一点的坐标(三个数)、轴的方向(两个数),以及刚体绕这根轴转动的角度(一个数)。

在国民经济问题中经常碰到这种情况:一个工厂生产多种产品,为说明这个工厂的产量,需要同时指出每种产品的产量;再如一个工厂的原料来自多个地方,于是一个原料的采购计划需要同时指出从每个原料产地的采购量,对于这些问题都需要用向量来表达。（韩云娜）